Con el dominio definido, ahora podemos calcular el límite que nos piden: \( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}-\sqrt{5}}{h} \)

Fijate que cuando $x$ tiende a $0$, tanto numerador como denominador se están yendo a $0$. Es decir, tenemos una indeterminación de tipo "0/0". Esta indeterminación dentro de poco se va a poder salvar simplemente usando L'Hopital. Te muestro acá cómo se puede salvar sin usarlo: 

Multiplicamos y dividimos por el conjugado para eliminar la raíz cuadrada: \( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}-\sqrt{5}}{h} \times \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5}}{\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5}} \) Esto nos da: \( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(h^{2}+4h+5)-(\sqrt{5})^2}{h(\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5})} \) \( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h^{2}+4h}{h(\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5})} \) Sacamos factor común \( h \) en el numerador y la cancelamos con la de abajo \( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h+4}{\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5}} \) Ahora sustituimos \( h \) por $0$ y descubrimos que ya no tenemos ninguna indeterminación: \( \frac{0+4}{\sqrt{0 + 4\cdot0 + 5}+\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)

Y listo, el resultado del límite es: 

\( \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}-\sqrt{5}}{h} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)