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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

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2.4. Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.
e) lim⁡h→0−h2+4h+5−5h\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{h^{2}+4 h+5}-\sqrt{5}}{h}

Respuesta

Analicemos primero el dominio de la función h2+4h+5−5h\frac{\sqrt{h^{2}+4 h+5}-\sqrt{5}}{h}. El denominador no puede ser cero, por lo que h≠0 h \neq 0 . Además, lo de adentro de la raíz cuadrada, h2+4h+5 h^{2} + 4h + 5 tiene que ser mayor o igual a cero. Si planteas eso, vas a ver que siempre lo es, para cualquier hh. 

Por lo tanto, el dominio de la función es R−{0}\mathbb{R} - \{0\}
Con el dominio definido, ahora podemos calcular el límite que nos piden: lim⁡h→0−h2+4h+5−5h \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}-\sqrt{5}}{h}

Fijate que cuando xx tiende a 00, tanto numerador como denominador se están yendo a 00. Es decir, tenemos una indeterminación de tipo "0/0". Esta indeterminación dentro de poco se va a poder salvar simplemente usando L'Hopital. Te muestro acá cómo se puede salvar sin usarlo: 
Multiplicamos y dividimos por el conjugado para eliminar la raíz cuadrada: lim⁡h→0−h2+4h+5−5h×h2+4h+5+5h2+4h+5+5 \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}-\sqrt{5}}{h} \times \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5}}{\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5}} Esto nos da: lim⁡h→0−(h2+4h+5)−(5)2h(h2+4h+5+5) \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{(h^{2}+4h+5)-(\sqrt{5})^2}{h(\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5})} lim⁡h→0−h2+4hh(h2+4h+5+5) \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h^{2}+4h}{h(\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5})} Sacamos factor común h h en el numerador y la cancelamos con la de abajo lim⁡h→0−h+4h2+4h+5+5 \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h+4}{\sqrt{h^{2}+4h+5}+\sqrt{5}} Ahora sustituimos h h por 00 y descubrimos que ya no tenemos ninguna indeterminación: 0+40+4⋅0+5+5=45+5=425=25 \frac{0+4}{\sqrt{0 + 4\cdot0 + 5}+\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Y listo, el resultado del límite es: 

lim⁡h→0−h2+4h+5−5h=25 \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{h^{2}+4h+5}-\sqrt{5}}{h} = \frac{2}{\sqrt{5}}
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